斜拉橋拉索自振頻率分析
2018-04-16
1. 引言
隨斜拉橋跨度的不斷增大，斜拉索變得越來越長，因為索的大柔度、小質量和小阻尼等特點，極易在風雨、地震及交通等荷載激勵下發(fā)生振動[1]。長拉索前幾階頻率在0.2-0.3Hz時，模態(tài)阻尼比只有0.1%，更有可能發(fā)生大幅的擺動。迄今，已有許多斜拉索風致振動的報導：日本結構工程協(xié)會(Japan Institute of Construction Engineering) 在1988 年一年內對日本的五座斜拉橋斜拉索振動進行了觀測和測量，發(fā)現它們的最大振幅如下：Brotoni橋達600毫米，Kofin橋達1000毫米，Meikeh橋達600毫米，Aratsu橋達300毫米，大約為直徑的兩倍。在國內，1992 年南浦大橋在一次風雨聯合作用的情況下浦西岸尾部幾根斜拉索發(fā)生了較大的振動；楊浦大橋尾索在風雨共振作用下也發(fā)生過劇烈的振動，最大振幅超過l米。2001年，在南京長江二橋通車前，橋上斜拉索在風雨激振下發(fā)生大幅擺動，導致安裝在梁端的部分油阻尼器損壞[3-5]。
目前對斜拉索風致振動的研究主要集中在單索的風致振動，已經發(fā)現的斜拉索可能的振動類型主要包括以下六類：(1) 順向風振動；(2) 風雨激振；(3) 橫風向馳振；(4) 渦激共振；(5) 參數共振。
1. 順向風振動是拉索振動最常見的一種。由于風速可以分解為平均風速和脈動風速，風對拉索的作用也表現為平均風引起的靜內力、靜位移和脈動風引起拉索的振動響應，包括動內力、動位移和振動加速度。
2. 在拉索的風致振動中，風雨激振是最激烈的形式之一。風雨激振現象是由日本學者于1986年首先發(fā)現的。其后在歐洲，我國等多個國家都觀察到這一現象。在干燥的氣候條件下穩(wěn)定的拉索，而在風和雨的共同作用下，由于雨線的出現，使拉索變得不再穩(wěn)定。拉索發(fā)生風雨激振的特點為大、中、小雨狀態(tài)下皆可能發(fā)生拉索的風雨激振，一般長索發(fā)生風雨激振的可能性較大，而靠近塔柱處的短索發(fā)生這一振動的可能性較小，一般發(fā)生在包裹的具有光滑表面的拉索，風雨激振時，拉索常以單模態(tài)振動，振動的頻率一般為拉索的一階模態(tài)頻率。已經觀察到有塔的背風面索面振動較大而塔的迎風面索面振動較小的情況。在一座橋上，常有多根拉索同時發(fā)生風雨激振。
3. 橫風向馳振是指拉索在垂直于風向上發(fā)生微小速度時，這個速度便和風速合成一個對索的迎風面形成一定角度的合成速度，同時產生垂直風向的力分量，這種作用不斷加強，就會使拉索產生激烈的橫風向振動，振幅可達1~10倍拉索的直徑[8]。拉索的橫向風馳振屬于發(fā)散性振動。尾流馳振是拉索的另一種馳振形式，兩索沿風向斜列時，來流方向的下游拉索將發(fā)生比上游拉索更強烈的一種風致振動。上游拉索的尾流中存在一個不穩(wěn)定馳振區(qū)，如果下游拉索正好位于這一不穩(wěn)定區(qū)域內，其振動幅值就會不斷加大，直至達到一個穩(wěn)態(tài)大振幅的極限環(huán)。當兩拉索相距較遠時，超出尾流馳振不穩(wěn)定區(qū)時，就不會發(fā)生尾流馳振[2]。
4. 拉索的渦激共振。風作用在圓截面拉索，產生交替脫落的漩渦此即所謂的卡門漩渦，拉索在橫向風上被周期性驅動。當渦旋的脫落頻率與拉索的某階自振頻率相接近或相等時，出現頻率鎖定現象，引起拉索在橫風向上較大的運動，即橫風向渦激振[3]。
5. 參數振動。對已建和在建的斜拉橋觀測表明，在無風和風荷載很小的情況下，個別拉索有時會發(fā)生十分強烈的橫向振動。研究表明，當橋面的某階振動頻率接近拉索的振動頻率的2倍時，拉索將可能發(fā)生自激共振現象，從而引起拉索的大幅振動，這種振動也稱為參數振動[2]。
拉索的風雨激振和參數共振都是強非線性振動，能引起拉索的大幅振蕩，對拉索具有相當大的破壞性。對拉索進行動力學分析，其自振頻率則是十分重要的參數。與此同時，由風雨激振和參數共振發(fā)生的機理可知，這兩種大幅振動的發(fā)生與拉索自身的振動頻率密切相關，因此有必要對拉索自振頻率進行分析。
2. 拉索自振頻率解析解
運用數理方程知識，拉索的自振頻率可由解析的方法計算得到，具體過程如下。
設有一根均勻、柔軟而且有彈性的拉索 ，其長度為 ，建立如圖1坐標系，設拉索被拉緊成直線狀。當它在平衡位置附近作垂直于 方向的微小振動，并且在振動過程中拉索始終保持在同一平面，用 表示拉索上任意一點 ，在任意時刻 沿著垂直于 方向的位移。顯然，拉索的微小橫振動可以用函數 來描述。
圖1拉索示意圖
在拉索上任取一小段弧長 。由于拉索的振動是微小的，故可以認為拉索在振動過程中并未伸長，即 的長度 。由胡克定律知，拉索上各點處的張力 的大小都相同且不隨時間變化，即 是常數。又由于拉索是柔軟的，因此拉索抵抗彎曲的能力非常小，可以忽略不計，即認為拉索的抗彎剛度為零，故 的方向總是沿著拉索的切線方向。
任取拉索上微小的一段弧長 為隔離體，在 時刻的受力情況如圖2所示。
圖2拉索隔離體受力分析
由受力分析知，作用在微段 上的力有：點 處的張力 ，它在 軸的分力為 ；點 處的張力 ，它在 軸的分力為 ；設拉索的單位長度質量為 。
根據達朗伯原理得
??； (1)
因為 ，故
(2)
又由于拉索做微小振動時，振幅很小，切線的傾角 也很小，故 就很小，以致 <<1，可以忽略不計，因此有
(3)
同理
(4)
于是得
(5)
同除以 得
(6)
令 取極限得
(7)
記 ，則可以簡寫成
(8)
線性方程中的變量可分離，而且振動是簡諧振動，因此，方程式中的解可以寫成
(9)
式中： ，為圓頻率，單位為 ； 為振型函數，可由下式解出。
由
(10)
得
(11)
由于兩端為鉸支座
；(12)
；(13)
于是有
， ； (14)
要 ，則必須
；(15)
則
(16)
由此可得不考慮彎曲剛度時，拉索橫向振動的固有頻率
(17)
式中
―拉索的軸向拉力 ；
―拉索的長度 ；
―拉索單位長度的質量 ；
―第 階振型，
相應的振型為
(18)
考慮彎曲剛度時，分析過程同上，拉索橫向振動的固有頻率為
(19)
式中
―拉索的軸向拉力 ；
―拉索的長度 ；
―拉索單位長度的質量 ；
―第 階振型， ；
―考慮了拉索彎曲剛度的修正系數；
(20)
式中
―拉索的彈性模量 ；
―拉索的慣性矩 。
3. 拉索有限元建模
3.1. 拉索建模的方法
斜拉橋拉索有限元建模主要有三種方法：等效彈性模量法、多段直桿法和曲線索單元法。
等效彈性模量法由Pippard和Chitty于1944年在分析拉桿時提出，后來Ernst等人將其引入拉索的建模中。它是用考慮了垂度變換影響的有效彈性模量的直桿代替懸索。由于等效彈性模量法的精度限制，它主要用于初步設計，而不宜用于高精度的詳細分析中。Ernst公式中等效彈性模量與拉索的軸應力是有關系的（軸應力出現在等效彈性模量的表達式中），在實際計算中也不簡單，需要迭代求解。
多段直桿法的想法基于基本的微積分思想，這種想法在懸索橋的模擬中早就提了出來。將拉索離散成一串無質量的、鉸接的連桿，并且軸向剛度采用Pugsley提出的重力剛度；主纜自重和其他任意荷載集中作用在連桿的節(jié)點上。隨著連桿數目的增多，這個體系將趨于真實情況。無窮多的連桿能模擬纜索的真實受力狀態(tài)，實際應用中，有限多的連桿就具有了足夠的精度。
曲線索單元法將拉索分成一個或多個曲線單元，其單元剛度矩陣由多項式或拉格朗日差值函數通過在公共節(jié)點上的連續(xù)性來確定。也有些曲線單元從拉索的真實形狀（懸鏈線）出發(fā)。
相比之下，采用多段直桿法比較方便。ABAQUS中提供了非線性分析的能力和一些常見的桿件單元，合理地利用它們足以在設計要求允許的精度范圍內模擬拉索的力學行為。
3.2. 單元的選擇
ABAQUS中沒有現成的索單元，根據拉索的受力特點，只能承受拉力，不能承受壓力，且抗彎剛度可以忽略不計，選擇二維兩節(jié)點的Truss單元(T2D2)進行模擬。T2D2單元只有一個自由度，只能反映軸向力的變化，而初始應力使得桿單元中只有拉應力，且由于初始應力很大，在后續(xù)分析中，桿單元中不會出現壓應力；Truss單元之間采用鉸接，即沒有抗彎剛度，以上與拉索的力學特點十分相似，故采用鉸接T2D2單元模擬拉索，和實際情況比較接近。
3.3. 模型的建立
本文中采用 個鉸接的桿單元模擬拉索的行為。拉索兩邊的支承用鉸支座模擬，與實際情況比較接近。具體模型如圖3所示。
圖3拉索模型示意圖
4. 算例分析
采用文獻[4]中某工程實例，拉索的具體參數如下。
1. 材料參數：
彈性模量 ；泊松比 ；拉索的換算密度 。
2. 邊界條件：
實際中，拉索兩端與主梁和橋塔是鉸接的，所以模型的兩端采用鉸支座來模擬約束條件。
3. 初始條件：
預應力 。
4. 幾何尺寸：
拉索長度為 ；截面面積為 。
把本模型拉索的參數代入公式(17)，計算得拉索的第一階至第十階的自振頻率，結果見表1。
拉索第一階至第十階自振頻率解析解表1
自振頻率階次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
頻率解析解
1.147 2.295 3.442 4.590 5.737 6.885 8.032 9.180 10.327 11.474
根據問題的性質選擇ABAQUS的Linear perturbation計算方法中的frequency作為分析步。
運用ABAQUS對模型進行分析計算，得到拉索第一至第十階的自振頻率及振型，結果見表2。將拉索的第一至第十階自振頻率的理論解與ABAQUS的計算結果進行比較，結果見表3。
拉索第一階至第十階自振頻率數值解表2
自振頻率階次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
頻率數值解
1.144 2.288 3.431 4.574 5.716 6.856 7.995 9.133 10.268 11.401
頻率計算結果比較表3
自振頻率階次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
頻率解析解
1.147 2.295 3.442 4.590 5.737 6.885 8.032 9.180 10.327 11.474
頻率數值解
1.144 2.288 3.431 4.574 5.716 6.856 7.995 9.133 10.268 11.401
誤差
-0.26 -0.31 -0.32 -0.35 -0.37 -0.42 -0.46 -0.51 -0.57 -0.64
由以上分析可知，用108個相互鉸接的桿單元對拉索進行模擬，精度滿足要求。后文分析中均采用相互鉸接的個桿單元模擬拉索，具體單元數目與單元大小根據拉索的幾何尺寸而定。
5. 結論
本文運用解析法和有限單元法兩種方法進行分析計算，并且將結果進行了對比，兩種方法得到的結果吻合較好，證明了解析法和有限單元法的可靠性，可以用這兩種方法求解拉索的自振頻率來研究拉索的風雨激振和參數共振問題。
參考文獻：
[1] 項海帆.現代橋梁抗風理論與實踐. 北京：人民交通出版社，2005.
[2] 陳明憲，斜拉橋建造技術，北京：人民交通出版社，2003
[3] 符旭晨，周岱等，斜拉索的風振與減振，振動與沖擊，Vo1.23.No.3 29~32
[4] 陳政清，橋梁風工程，北京：人民交通出版社．2005
