東海大橋基于溫度序列的撓度分析
2017-08-21
在橋梁建成后，由于受到氣候、環(huán)境因素的影響，會(huì)被逐漸腐蝕和老化，長(zhǎng)期的荷載作用，使其強(qiáng)度和剛度降低。不僅會(huì)影響行車安全，也會(huì)使使用壽命縮短。對(duì)結(jié)構(gòu)布局十分復(fù)雜的大型橋梁上若仍然沿用傳統(tǒng)方法的進(jìn)行外觀檢查、養(yǎng)護(hù)以及局部檢測(cè)，已遠(yuǎn)遠(yuǎn)難以完備的反映其健康狀況，尤其是橋梁的安全問(wèn)題難以保障。建立一種用以提供全面檢測(cè)，實(shí)時(shí)觀測(cè)大橋結(jié)構(gòu)的承載能力，保證橋體的安全運(yùn)營(yíng)。
綜合已有研究資料，為建立撓度和溫度關(guān)系數(shù)量模型，研究研究思路如下：首先對(duì)溫度序列與撓度序列進(jìn)行獲取和整理，對(duì)于其中的異常值選定規(guī)則予以剔除，其次嘗試建立若干可行模型，通過(guò)對(duì)擬合優(yōu)度，多重共線性分析和殘差序列分析等方法對(duì)所建模型進(jìn)行合理性評(píng)價(jià)最后，對(duì)最終所提出模型進(jìn)行優(yōu)缺點(diǎn)評(píng)析并提出應(yīng)用辦法。（由于版面限制，輸出圖表基本略去，僅保留最終擬合結(jié)果及少量必要圖表）
一、數(shù)據(jù)集概述及初步分析
在日常觀測(cè)中，溫度隨時(shí)間的推移而周期性變化，而溫度又為撓度的主要影響因素之一，故嘗試將數(shù)據(jù)集DATA視為時(shí)間面板數(shù)據(jù)進(jìn)行分析并建立適當(dāng)模型對(duì)撓度（GP）進(jìn)行估計(jì)并對(duì)數(shù)據(jù)集DATA中的缺失值進(jìn)行填補(bǔ)。
?。ㄒ唬?shù)據(jù)的性質(zhì)檢驗(yàn)及篩選。
根據(jù)時(shí)間序列分析的要求，不論自變量或因變量，均不得為白噪聲序列。經(jīng)分析，撓度（GP）與18個(gè)溫度序列的自相關(guān)系數(shù)與偏自相關(guān)系數(shù)顯著不為零，因而不是白噪聲序列。又通過(guò)ADF檢驗(yàn)方法，在1%、5%、10%的置信度下，GP（撓度序列，下文中撓度序列可用GP代指）及溫度序列均顯著拒絕存在單位根的原假設(shè)，即GP平穩(wěn)。最后由6 法刪去由儀器失常及其他因素造成的異常值。
?。ǘ┤笔?shù)據(jù)的填補(bǔ)。
撓度的具體表現(xiàn)為橋梁在溫濕度及其他自然環(huán)境的共同作用下，由于不同結(jié)構(gòu)體導(dǎo)熱性能以及膨脹系數(shù)不同而導(dǎo)致的橋體中心點(diǎn)具有連續(xù)性的位移變化（隆起或下沉）。因而在此嘗試用自回歸模型對(duì)序列GP進(jìn)行擬合。
通過(guò)自回歸圖，發(fā)現(xiàn)GP在短期內(nèi)存在的偏自回歸并一階截尾，自回歸系數(shù)拖尾，即GP有明顯的一階自回歸趨勢(shì)。嘗試用模型1對(duì)其進(jìn)行擬合。
其中C1為一維系數(shù)向量， t為白噪聲項(xiàng)。
其自回歸圖亦表明殘差并未完全呈現(xiàn)白噪聲的特征，換用表達(dá)式2對(duì)GP進(jìn)行擬合。
其中，GP的一階差分系數(shù)顯著，且差分項(xiàng)D（GP）的增加使得R2大幅提高并達(dá)標(biāo)準(zhǔn)因而選用模型2對(duì)空白數(shù)據(jù)進(jìn)行填補(bǔ)。
二、線性時(shí)間序列模型的建立
線性參數(shù)模型的建立：
協(xié)方差分析顯示十八個(gè)溫度序列之間存在著強(qiáng)相關(guān)；而任意溫度序列與撓度的相關(guān)系數(shù)均小于0.2，可以認(rèn)為無(wú)線性相關(guān)。于是放棄變量線性擬合，尋求溫度與撓度之間的關(guān)系。嘗試下列模型：
其中TEM=（CT1，CT2，…，CT6，ST1，ST2，…ST12）’為18��980的溫度矩陣，C1為1��系數(shù)向量，C2為1��的系數(shù)向量，C0表示殘差項(xiàng)，LNGP=ln（-GP）。
擬合后，前三個(gè)方程擬合程度極弱，不能有效估計(jì)GP的數(shù)值和波動(dòng)情況均予以舍去，其相關(guān)輸出與分析由于篇幅限制均不列示。僅有LNGP=C�TEM在無(wú)自回歸項(xiàng)時(shí)擬合優(yōu)度既已達(dá)到R2=0.49，推測(cè)此模型在經(jīng)過(guò)修正和擴(kuò)大樣本量之后可能會(huì)較好的預(yù)測(cè)LNGP。在進(jìn)行修正之前舍棄 t 檢驗(yàn)參數(shù)不顯著的變量。
步驟如下，記為操作1：
1）刪去模型中最不顯著序列（相應(yīng) p 值最大的序列）；
2）舍棄此序列對(duì)模型重新擬合；
3）重復(fù)步驟1）、2），直到所有變量系數(shù)都顯著；
4）對(duì)模型進(jìn)行最終擬合。
所得殘差的自回歸系數(shù)拖尾，偏自回歸系數(shù)一階截尾。表明殘差序列存在顯著地一階自回歸。對(duì)模型加入一階自回歸并重復(fù)操作1中1）～4）步，
得R2=0.615148，較上一模型雖有提高但仍不完善。對(duì)殘差進(jìn)行同樣操作，發(fā)現(xiàn)無(wú)短期相關(guān)。回憶本文先前所提及的撓度受到周期性序列溫度的影響。繪制100階滯后自相關(guān)圖得殘差序列在滯后96階時(shí)對(duì)當(dāng)前階影響顯著，向模型中加入AR（96），并重復(fù)操作步驟1）～4）。重新擬合后可以看出，通過(guò)自回歸項(xiàng)的添加，自變量的數(shù)目的顯著減少和R2的上升證明以該方向探究溫度序列與撓度序列之間的參數(shù)關(guān)系的方法是可取的。再觀察相應(yīng)的殘差序列100階滯后的自回歸圖。從圖中看來(lái)，自相關(guān)或偏自相關(guān)系數(shù)均呈正弦方式波動(dòng)遞減，雖然普遍在兩倍標(biāo)準(zhǔn)差以內(nèi)波動(dòng)，但仍存在高于兩倍標(biāo)準(zhǔn)差的現(xiàn)象，但由于自回歸值或偏自回歸值高于兩倍標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)量較少，分部零散以及p值不顯著等特征在此認(rèn)為殘差基本達(dá)到白噪聲的水平，不予繼續(xù)提取殘差中的剩余信息。
三、非線性模型的建立
在以上分析中注意到，正值GP不可被估計(jì)，且等式右端的常數(shù)項(xiàng)估計(jì)為0。因此更改模型為非線性模型：
選擇指數(shù)混合非線性模型與撓度自回歸模型相比將有以下兩點(diǎn)優(yōu)勢(shì)：
在理想情況下，由于在橋梁使用壽命中，自然狀態(tài)下上海地區(qū)氣溫始終在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，并且嚴(yán)格以年為周期。因而用以估計(jì)非線性模型的自變量范圍取值范圍可以取遍可能的全集。在做預(yù)測(cè)或估計(jì)時(shí)不會(huì)出現(xiàn)輸入自變量超出模型所適合的范圍。
由于該模型的預(yù)測(cè)依靠于外生變量的輸入作為指數(shù)項(xiàng)，所以不會(huì)因?yàn)轭A(yù)測(cè)時(shí)間的推移而使因變量（GP）趨于某一固定的值，0。由Matlab計(jì)算并進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，計(jì)算得R2=0.9558，表明模型對(duì)原方程擬合程度貼切。 四、進(jìn)行主成分分析達(dá)到模型簡(jiǎn)化
在上述建模中發(fā)現(xiàn)在最終模型中所選取的溫度序列組隨著所選時(shí)間段的不同而不同。因而在此嘗試使用主成分分析選取主成分代替溫度序列對(duì)撓度進(jìn)行擬合，從而減少因樣本框選取而產(chǎn)生的估計(jì)誤差。
回顧18個(gè)溫度序列根據(jù)監(jiān)測(cè)點(diǎn)位置不同而分為檢測(cè)鋼梁溫度的CT1～CT6序列（記為矩陣TEM1）以及檢測(cè)混凝土結(jié)構(gòu)的ST1～ST12序列（記為矩陣TEM2）。而撓度主要由結(jié)構(gòu)溫差導(dǎo)致，所以通過(guò)對(duì)兩溫度矩陣分別取主成分帶入擬合進(jìn)而得到模型。用princomp語(yǔ)句對(duì)TEM1以及TEM2進(jìn)行主成分分析得到得分函數(shù)和主成分矩陣（得分矩陣）。TEM1的第一主成分至第六主成分依次記為X1～X6。相應(yīng)的得分函數(shù)為[747.7219 22.0784 7.9347 1.9127 0.4917 0.1667]，累計(jì)貢獻(xiàn)率為[95.82% 98.65% 99.67% 99.92% 99.98% 100.00%]，則選取第一主成分代作為溫度序列TEM1的替代。
TEM2的第一主成分至第六主成分依次記為X01～X12。相應(yīng)的得分函數(shù)為[876.6472 18.9095 9.0033 1.9399 1.0674 0.9025 0.5468 0.3370 0.2085 0.1221 0.0633 0.0445]，累計(jì)貢獻(xiàn)率為[96.36% 98.44% 99.42% 99.64% 99.76% 99.85% 99.91% 99.95% 99.97% 99.99% 100.00%]，則選取第一主成分作為溫度序列TEM2的替代。
將X1和X01代入下式對(duì)撓度進(jìn)行擬合
與模型2相比減少了輸入?yún)?shù)且擬合優(yōu)度接近。因此選取模型3代替模型2作為最終模型。
五、應(yīng)用
通過(guò)本實(shí)驗(yàn)得到了撓度與外生變量溫度的非線性時(shí)間序列分析，對(duì)此我們可以滿足實(shí)驗(yàn)伊始所提出的要求。在進(jìn)行擴(kuò)大數(shù)據(jù)量檢驗(yàn)?zāi)Ｐ秃笕缛魺o(wú)誤，可定期或不定期的將檢測(cè)所得數(shù)據(jù)帶入該模型，以擬合程度撓度和溫度檢測(cè)器進(jìn)行評(píng)價(jià)和估計(jì)，并在可預(yù)測(cè)外溫變化的情況下對(duì)撓度進(jìn)行預(yù)報(bào)以及橋梁穩(wěn)定性或老化程度進(jìn)行評(píng)判。由于工科背景不足及相關(guān)經(jīng)驗(yàn)缺乏，就應(yīng)用部分不作詳述。
六、結(jié)語(yǔ)
受到樣本跨度不足及質(zhì)量不高等問(wèn)題的影響，該模型仍存在很多不足，詳述如下，并希望在數(shù)據(jù)充足時(shí)可依思路對(duì)其進(jìn)行修改并希望可以對(duì)讀者進(jìn)行啟發(fā)。
1、殘差序列非白噪聲：對(duì)于最終模型（模型3）相應(yīng)的殘差序列并沒(méi)有通過(guò)JB檢驗(yàn)，不服從正態(tài)分布。表明殘差序列中仍有可以提取的信息以對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)和優(yōu)化。
2、季節(jié)性因素并未提取：從工科方向了解到，橋梁撓度收到月度和季度周期性因素的影響。然而個(gè)人操作技巧及數(shù)據(jù)的時(shí)間跨度不足以支持在本次分析中對(duì)季節(jié)性因素予以提取和分析。因此推測(cè)在圖15中Yhat和GP間所存在的差異也概為未提取的季節(jié)性因素所致。
3、誤差項(xiàng)的刪除：再刪除誤差項(xiàng)的時(shí)候本文采取簡(jiǎn)單的6 法，然而既然本文從時(shí)間序列出發(fā)，選擇迭代法剔除異常值可能更為恰當(dāng)。
4、溫度序列分析不足：由于方向模糊和相關(guān)知識(shí)背景不足，本文中除在主成分分析中嘗試綜合提取溫度序列中的信息外并未對(duì)主要影響撓度的溫度序列進(jìn)行深入分析，從而可能導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)效率低下或信息提取不足。
5、滑動(dòng)平均項(xiàng)的影響：基于模型擬合的目的，滑動(dòng)平均項(xiàng)的添加將影響預(yù)測(cè)功能的實(shí)現(xiàn)因而在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)引入滑動(dòng)平均項(xiàng)后線性―指數(shù)模型的擬合程度會(huì)有顯著提高。在不注重預(yù)測(cè)功能的模型估計(jì)中可以考慮。并且，在缺失外生變量的撓度自回歸中，該模型的擬合程度依然出色。
6、橋梁老化問(wèn)題：任何建筑都有使用壽命問(wèn)題，由于受到樣本數(shù)據(jù)的限制，在此未能對(duì)橋梁老化進(jìn)行討論。
7、危險(xiǎn)臨界值：本文僅限于對(duì)撓度與溫度提出了分布關(guān)系并對(duì)相關(guān)參數(shù)進(jìn)行擬合，然而受知識(shí)和數(shù)據(jù)所限，并不能提出基于此模型或關(guān)系的警戒值。
然而本模型也有很多可取之處：
1、定義域：該模型基于基本涵蓋全定義域的數(shù)據(jù)集進(jìn)行擬合，擴(kuò)大適用范圍，并與自回歸模型相比能更好的對(duì)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。
2、差分運(yùn)算的省略：與此前文獻(xiàn)相比，本文所述方法并不依賴差分，較完整的保留了數(shù)據(jù)特征，減少了由于差分導(dǎo)致的信息損耗，
3、溫度序列組合的應(yīng)用：此處用溫度序列組合代替參考文獻(xiàn)中所提及的溫度加權(quán)值，保留溫度序列本身，盡可能完善的提取溫度序列中所含信息，減少信息損耗。
4、總體而言，本文雖然存在一定的不足和局限，但在溫度與撓度的時(shí)間序列分析問(wèn)題上達(dá)到了甲方要求并得到了較為滿意的結(jié)果。
?。ㄗ髡邌挝唬寒厴I(yè)于上海對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué)，統(tǒng)計(jì)專業(yè)，現(xiàn)就讀于Cardiff University）
參考文獻(xiàn)：
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