懸索橋結(jié)構(gòu)幾何非線性分析方法綜述
2018-02-22
現(xiàn)代懸索橋通常主要由主纜、主塔、錨墊和加勁梁四大主體結(jié)構(gòu)以及塔頂主鞍座、錨口散束鞍座或散束箍和懸吊系等重要附屬系統(tǒng)組成。其最大特點(diǎn)為恒載作用在主纜內(nèi)形成的 巨大拉力對(duì)后續(xù)活載作用下結(jié)構(gòu)的變形有抵抗作用,結(jié)構(gòu)具有不可忽略的幾何非線性。因此 , 大跨度懸索橋的分析必須計(jì)入內(nèi)力與 結(jié)構(gòu)變形的影響,否則將引起較大的誤差。
懸索橋結(jié)構(gòu)的特性為幾何非線性,主要可分為3個(gè)部分:
1) 主纜自重垂度的影響。
2) 荷載作用下結(jié)構(gòu)的大位移。
3) 結(jié)構(gòu)的初始內(nèi)力影響。
人們對(duì)懸索橋結(jié)構(gòu)特性的認(rèn)識(shí)是一個(gè)發(fā)展過(guò)程,在這個(gè)過(guò)程中產(chǎn)生了彈性理論,撓度理論及有限位移理論。
1、 幾何非線性分析基本原理
結(jié)構(gòu)分析的目的,就是要計(jì)算出結(jié)構(gòu)在外荷載作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)的位移和內(nèi)力,這個(gè)平衡狀態(tài)是已經(jīng)發(fā)生了變形的狀態(tài)而不是變形前的狀態(tài)。在結(jié)構(gòu)分析中,如果結(jié)構(gòu)所發(fā)生的位移遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)自身的幾何尺寸, 則結(jié)構(gòu)在外荷載作用下的平衡狀態(tài)就可以和未受荷載時(shí)的位形不加區(qū)分,不必考慮結(jié)構(gòu)位形的變化,以初始位形狀態(tài)代替變形后的位形狀態(tài),也不會(huì)產(chǎn)生很大的誤差,這就是結(jié)果線性分析；而當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生大位移、大轉(zhuǎn)角時(shí),與未受荷載時(shí)相比,結(jié)果位形已有了很大的變化,如果再用未受外荷載時(shí)的狀態(tài)來(lái)代替這個(gè)狀態(tài),勢(shì)必造成很大的誤差 (如懸索結(jié)構(gòu))。結(jié)構(gòu)幾何非線性分析的實(shí)質(zhì)就是要求出結(jié)構(gòu)變形之后的平衡狀態(tài),然后求出這個(gè)狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。
根據(jù)虛位移原理,即外力在虛位移上所做的功等于結(jié)構(gòu)因虛應(yīng)變所產(chǎn)生的內(nèi)力虛功,建立有限元幾何非線性平衡方程得:
∫δ{ε}T{σ}dv-δ{u}T{f}=0 (1)
其中, {σ}為單元的 應(yīng)力向量；{f}為單元的桿端力向量；δ{u}為虛位移；δ{ε}為虛應(yīng)變。
位移應(yīng)變關(guān)系用非線性形式表示為:
δ{ε}= [B]δ{u}(2)
消去δ{u}T, 得非線性問(wèn)題的平衡方程為:
∫[B]T{σ}dv-{f}= 0(3)
式(3)的意義就是結(jié)構(gòu)在外荷載作用下的平衡狀態(tài)為結(jié)構(gòu)內(nèi)力與外荷載平衡時(shí)的狀態(tài) , 平衡條件建立在變形之后的位形上。當(dāng)結(jié)構(gòu)在彈性范圍內(nèi)工作時(shí),最終的平衡狀態(tài)是唯一確定的。
在非線性問(wèn)題下,應(yīng)變與位移的關(guān)系是非線性的,應(yīng)變矩陣[B]是位移{ε}的函數(shù)。其可分為與桿端位移無(wú)關(guān)的線性應(yīng)變矩陣[B0]和與桿端位移有關(guān)的非線性應(yīng)變矩陣[BL]兩部分, 即 :
[B]=[B0]+[BL](4)
考慮初應(yīng)力{σ0}和初應(yīng)變{ε0}時(shí),單元應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可表示為:
{σ}=[D]({ε}-{ε0})+{σ0}(5)
其中 , [D]為材料的彈性矩陣。
在幾何非線性分析中,按全量列式法得到的單元?jiǎng)偠染仃嚭徒Y(jié)構(gòu)剛度矩陣往往是非對(duì)稱的,對(duì)求解不利。因此,多采用增量列式法,將式(3)寫成微分形式:
∫d[B]T{σ}dv +∫[B]Td{σ}dv=d{f} (6)
由式(2),式(5)得 :
d{σ}=[D][B]d{δ}(7)
再根據(jù)式(4)有 :
d[B]=d([B0]+[BL])=d[BL] (8)
令 :
∫d[B]T{σ}dv +∫[B]Td{σ}dv=[K]d{δ} (9)
則式(6)變?yōu)?:
[K]d{δ}={f}(10)
[K]= dv+∫[B]T dv=[K0]+[KL]+[K] (11)
式(10)即是增量形式的單元平衡方程,它表示了荷載增量與位移增量之間的關(guān)系,所表達(dá)的意義即位移一定的結(jié)構(gòu)位形的改變相當(dāng)于一定的外荷載的改變。其中,[K]為單元的 切線剛度矩陣；[K0]為單元線性剛度矩陣；[KL]為單元初位移剛度矩陣(或稱大位移剛度矩陣)；[K]為單元初應(yīng)力剛度矩陣(或稱幾何剛度矩陣)。
2、 幾何非線性分析的基本方法
1) 增量法。增量法是指荷載以增量的形式逐級(jí)加上去,對(duì)每個(gè)荷載增量作用過(guò)程中假定結(jié)構(gòu)的剛度是不變的,在任一荷載增量區(qū)間內(nèi)節(jié)點(diǎn)位移和桿端力都是由區(qū)間起點(diǎn)處的結(jié)構(gòu)剛度算出,然后利用求得的節(jié)點(diǎn)位移和桿端力求出相對(duì)于增量區(qū)間終點(diǎn)變形后的位置上的結(jié)構(gòu)剛度,作為下一個(gè)荷載增量的起點(diǎn)剛度。
2) 迭代法。迭代法是將整個(gè)外荷載一次性加到結(jié)構(gòu)上,節(jié)點(diǎn)位移用結(jié)構(gòu)變形前的切線剛度求得,然后根據(jù)變形后的結(jié)構(gòu)計(jì)算結(jié)構(gòu)剛度,求得桿端力。由于變形前后的結(jié)構(gòu)剛度不同, 產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)不平衡荷載,為了滿足節(jié)點(diǎn)平衡,將這些不平衡荷載作為節(jié)點(diǎn)荷載作用在節(jié)點(diǎn)上, 計(jì)算出相對(duì)于變形后的節(jié)點(diǎn)位移量,反復(fù)這一迭代過(guò)程,直至不平衡荷載小于準(zhǔn)許值為止。
3) 混合法?；旌戏ńY(jié)合了荷載增量法和迭代法的優(yōu)點(diǎn),混合法中初始荷載和每次循環(huán)后的 不平衡荷載都是以增量的形式施加,在每個(gè)荷載增量后對(duì)剛度作一次調(diào)整,這樣可以加快收斂速度,對(duì)于斜拉橋這種迭代次數(shù)要求較高的結(jié)構(gòu)是很適宜的。
3懸索橋幾何非線性分析
3.1 、 纜索自重垂度引起的非線性
在自由懸掛狀態(tài),纜索由于自重會(huì)產(chǎn)生垂度,當(dāng)索的軸力發(fā)生變化時(shí),其垂度也會(huì)變化, 垂度的變化又導(dǎo)致索弦長(zhǎng)的變化。而弦長(zhǎng)的變化與索軸力的變化是非線性關(guān)系。為考慮垂度 的影響,德國(guó)Ernst提出了換算彈性模量的概念:
Eeq= (12)
其中, Eeq為纜索的換算彈性模量；E為材料的彈性模量；l為纜索弦長(zhǎng)在水平方向上的投影長(zhǎng)度。
3.2、結(jié)構(gòu)大位移引起的幾何非線性
懸索橋在受外荷載作用時(shí),不僅纜索及加勁梁發(fā)生下?lián)?而且吊桿也將伸長(zhǎng),索塔會(huì)壓縮, 吊桿還將發(fā)生傾斜,節(jié)點(diǎn)還有水平位移,凡此種種,都對(duì)懸索橋內(nèi)力產(chǎn)生影響。所以應(yīng)該考慮軸力剪力和彎矩相互作用的二次效應(yīng),包括軸力引起的彎矩增量及彎矩引起的軸力增量。
3.3、 初始內(nèi)力的影響
在前面的大位移分析中,切線剛度矩陣中所含的單元變形是總的變形,此變形包括了初始狀態(tài)時(shí)單元由初始內(nèi)力引起的變形和由初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的變形兩部分。 因此,在計(jì)算單元的剛度矩陣時(shí)必須計(jì)入由初始內(nèi)力引起的單元變形。由于結(jié)構(gòu)的變位,在初始狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與外力的平衡條件在新的狀態(tài)下已不再成立,這將產(chǎn)生不平衡力,如同荷載一樣作用于結(jié)構(gòu),使得外荷載對(duì)結(jié)構(gòu)的作用表現(xiàn)出非線性。通常,初始狀態(tài)下結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)態(tài)平衡 , 后續(xù)荷載要打破這種平衡而建立新的平衡必須消耗能量。因此,初始內(nèi)力的影響總是抵消外 力的作用, 即初始內(nèi)力的存在提高了結(jié)構(gòu)的剛度,我們稱之為結(jié)構(gòu)的內(nèi)力剛度。初始狀態(tài)的內(nèi)力一般是由自重恒載引起的,所以,內(nèi)力剛度通常又可稱為重力剛度。對(duì)于大跨度懸索橋, 自重恒載引起的初始內(nèi)力是很大的,因此,初始內(nèi)力是懸索橋非線性的最主要影響因素。
4結(jié)語(yǔ)
懸索橋分析和一般桿系結(jié)構(gòu)有限元分析方法不同,其非線性影響突出。本文主要介紹了懸索橋的幾何非線性分析方法、主纜垂度非線性分析方法、結(jié)構(gòu)大位移引起的非線性分析方法和初始內(nèi)力引起的非線性分析方法。在懸索橋分析計(jì)算中,上述因素引起的非線性影響是比較突出的,對(duì)結(jié)構(gòu)內(nèi)力和線形產(chǎn)生較大的影響,必須充分考慮其影響程度,才能準(zhǔn)確把握懸索橋結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)。
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