空間纜索懸索橋的主纜線形分析
2018-02-22
引言
空間纜索懸索橋是由主纜和吊索形成的三維索系，其外形美觀，改善了結(jié)構(gòu)的橫向受力性能及動力穩(wěn)定性，受到了設(shè)計(jì)者的青睞。目前空間纜索懸索橋多用于城市自錨式懸索橋，由于空間纜索體系有其獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)，將來大跨徑懸索橋也可能采用空間纜索體系。
一、空間主纜成橋線形計(jì)算方法
主纜線形的精確計(jì)算直接決定了主纜的無應(yīng)力長度、吊點(diǎn)位置及吊索的無應(yīng)力長度，進(jìn)而影響橋面線形及橋塔偏位，因此準(zhǔn)確計(jì)算主纜線形至關(guān)重要。目前主纜的計(jì)算理論按照假定不同分為傳統(tǒng)拋物線理論、分段拋物線理論、分段直線理論及分段懸鏈線理論。在忽略主纜抗彎剛度影響將其當(dāng)作柔性索處理時(shí)，分段懸鏈線理論的假定最符合實(shí)際情況，是最為精確的理論，本文即以空間分段懸鏈線理論為基礎(chǔ)建立空間主纜線形的計(jì)算方法。基于分段懸鏈線理論的空間索段的狀態(tài)方程、分點(diǎn)力學(xué)平衡方程及幾何相容方程即構(gòu)成了空間纜分段懸鏈線理論的基本方程。只要各索段的無應(yīng)力長度和一個(gè)支點(diǎn)的三向分力確定，則可根據(jù)上述方程計(jì)算出懸索各分點(diǎn)的內(nèi)力和坐標(biāo)，本跨主纜的線形就完全確定了。
對空間纜索體系懸索橋，當(dāng)?shù)跛髫Q向分力及主纜控制點(diǎn)坐標(biāo)給定時(shí)，主纜的線形便是唯一確定的?？臻g主纜的橫向矢跨比不能任意給定，即在一組確定的吊索豎向分力的作用下，其橫向矢跨比應(yīng)是一定值，對應(yīng)著一組唯一確定的吊索橫向分力。因空間主纜線形和吊索力是耦合的，所以空間主纜線形的計(jì)算必須同時(shí)考慮吊索的影響，不能將吊索和主纜分開來處理?？臻g纜索的吊索是傾斜的，和主纜一樣吊索也應(yīng)當(dāng)作懸鏈線來計(jì)算，這樣得到的吊索分力便是精確值。在主纜線形迭代計(jì)算中，根據(jù)吊索上、下吊點(diǎn)坐標(biāo)(上吊點(diǎn)由當(dāng)前主纜分點(diǎn)坐標(biāo)確定)、吊索下吊點(diǎn)豎向分力，采用Newton-Raphson法可迭代計(jì)算出吊索的無應(yīng)力長度及下吊點(diǎn)水平力分量。
懸索橋成橋線形的計(jì)算順序總是先中跨，后邊跨最后錨跨。即先由中跨計(jì)算得出主纜縱橋向水平分力，根據(jù)塔頂兩側(cè)縱橋向水平分力相等的原則計(jì)算邊跨，再根據(jù)散索鞍的平衡條件計(jì)算錨跨。以中跨為例說明空間主纜線形的迭代算法，其計(jì)算流程如圖1，具體計(jì)算方法如下:
圖1中跨主纜線形計(jì)算流程
（1）按拋物線理論計(jì)算主纜始端(左鞍座IP點(diǎn))的三向分力FXL，F(xiàn)YL，F(xiàn)ZL作為迭代變量初值;
?。?）從左向右對各索段進(jìn)行計(jì)算，對第i索段由左端三向分力FXi，F(xiàn)Yi，F(xiàn)Zi及兩端縱橋向坐標(biāo)差LXi由索段狀態(tài)方程可計(jì)算出索段無應(yīng)力長度Si0及LYi，LZi，同時(shí)得到索段右端坐標(biāo);
?。?）對第i號吊索，由2)計(jì)算出的上吊點(diǎn)坐標(biāo)及已知的下吊點(diǎn)坐標(biāo)、下吊點(diǎn)豎向分力，由假定成橋狀態(tài)吊索僅在橫向平面內(nèi)傾斜知下吊點(diǎn)處縱向水平分力為零，可計(jì)算出該吊索無應(yīng)力長度及上吊點(diǎn)處的吊索力分量;
?。?）由力學(xué)平衡條件可得第i+1索段的左端三向分力，按相同的方法計(jì)算各索段的無應(yīng)力長度、右端坐標(biāo)、吊索無應(yīng)力長度及上吊點(diǎn)分力，直到第N索段;
?。?）以主纜末端(右鞍座IP點(diǎn))的Y，Z坐標(biāo)及跨內(nèi)指定點(diǎn)的Y向坐標(biāo)為目標(biāo)變量，利用修正的影響矩陣法獲得迭代變量的增量，反復(fù)迭代直到目標(biāo)變量誤差小于允許值為止。
在迭代計(jì)算中，首先要確定迭代變量(即主纜始端三向分力)的初值。如果初值選取不當(dāng)，可能造成收斂速度慢甚至不收斂，因此選取合理的迭代初值是確保迭代快速收斂的必要條件。假定空間主纜在橋軸線所在的豎平面及水平面的投影均為拋物線，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)假定橫橋向矢跨比為半橋?qū)挼?.65～0.80倍，將吊索當(dāng)作直桿處理，根據(jù)上、下吊點(diǎn)坐標(biāo)及吊索豎向分力來確定吊索橫向分力。則可根據(jù)拋物線理論計(jì)算迭代變量的初值，計(jì)算公式如下
式中，l為跨徑;q為主纜自重荷載集度;w為沿跨長的等效均布荷載;C為兩支點(diǎn)高差;f為跨中垂度;S為主纜形狀長度;Yi，Zi，Ymi，Zmi為上、下吊點(diǎn)的豎向及橫向坐標(biāo);PYi，PZi為吊索的豎向分力和橫向分力。
二、修正的影響矩陣法
采用數(shù)值解析法計(jì)算主纜線形時(shí)，不管是成橋狀態(tài)還是空纜狀態(tài)，均存在一個(gè)非線性迭代的問題，迭代方法的優(yōu)劣將直接關(guān)系到計(jì)算的斂散性及求解速度的快慢。迭代法的核心是根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)誤差確定下一輪迭代變量較上一輪的增量。目前用于平面纜索線形計(jì)算的迭代法主要有線形變化剛度矩陣法和影響矩陣法兩種。但在空間纜索線形計(jì)算中，這兩種方法可能面臨計(jì)算難以收斂的問題，為此本文提出一種修正的影響矩陣法用于空間纜索線形的計(jì)算。影響矩陣法即逐一改變迭代變量，計(jì)算相應(yīng)的各目標(biāo)變量，最終可得到迭代變量的變化值與目標(biāo)變量的變化值之間的關(guān)系，也就是影響矩陣。然后根據(jù)目標(biāo)變量當(dāng)前的誤差，通過矩陣運(yùn)算即可得到迭代變量的修正值，修正迭代變量后即可進(jìn)入下一個(gè)循環(huán)。
設(shè)迭代變量為{X}=(x1，x2，…，xn)T，目標(biāo)變量為{D}=(d1，d2，…，dn)T，目標(biāo)變量和迭代變量滿足以下關(guān)系:{D}=(f1(X)，f2(X)，…，fn(X))T。
（1）計(jì)算當(dāng)前迭代變量{X}0對應(yīng)的目標(biāo)變量{D}0，得到誤差向量{E}={D}0－{D}。
?。?）令當(dāng)前迭代變量{X}0中第j個(gè)元素xj增加Δxj，得到對應(yīng)的目標(biāo)變量{D}j，則xj發(fā)生單位變化引起目標(biāo)變量的變化向量{C}j=({D}j－{D}0)Δxj，記為:{C}j=(C1j，C2j，…，Cnj)T。
?。?）n個(gè)迭代變量分別發(fā)生單位變化，引起的n個(gè)目標(biāo)變量的變化向量依次排列所形成的矩陣［C］n×n，即為影響矩陣，記為
［C］=［{C}1{C}2…{C}j…{C}n］。
?。?）解方程組［C］{ΔX}=－{E}，則得到迭代變量的增量向量{ΔX}。
對于幾何非線性影響較大的結(jié)構(gòu)，求得的迭代變量作用于結(jié)構(gòu)上，并不能使目標(biāo)變量達(dá)到期望值。需按步驟1)～步驟4)重復(fù)進(jìn)行迭代計(jì)算，直到目標(biāo)變量誤差向量的范數(shù)小于指定誤差為止。
在計(jì)算主纜和吊索相互耦合的空間纜索線形時(shí)，采用上述影響矩陣法編制了程序，在計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)踔灯x真實(shí)值較多時(shí)，計(jì)算無法收斂。為了解決這一問題，提出了修正的影響矩陣法:即在計(jì)算影響矩陣的系數(shù)時(shí)，迭代變量的改變量根據(jù)上一輪計(jì)算的目標(biāo)變量的誤差值來確定，不再保持為恒定值。設(shè)第k輪的迭代變量為{X}K=(xk1，xk2，…，xkn)T，計(jì)算所得的目標(biāo)變量的誤差向量為{E}K=(ek1，ek2，…，ekn)T，則計(jì)算第k+1輪迭代變量增量向量{ΔX}k+1的影響矩陣按式(2)計(jì)算。
對于修正的影響矩陣法，在計(jì)算影響矩陣時(shí)迭代變量的改變值根據(jù)上一輪誤差大小自動調(diào)整，避免了整個(gè)迭代過程在計(jì)算影響矩陣時(shí)采用恒定的增量，使得迭代變量修正量的預(yù)測精度提高，從而使得整個(gè)算法的效率提高。采用修正的影響矩陣法編制的空間纜索線形程序SPCC應(yīng)用表明:對迭代初值的要求低，具有較高的計(jì)算精度及收斂速度。
結(jié)束語
基于空間懸鏈線理論，建立了空間主纜線形的迭代算法及空間主纜與空間鞍座的切點(diǎn)位置的計(jì)算方法，采用數(shù)值解析法編制了相應(yīng)的空間纜索線形計(jì)算程序SPCC。利用編制的程序?qū)|索系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算分析，該套程序計(jì)算精度高、收斂速度快，能準(zhǔn)確考慮塔頂鞍座、散索鞍及錨跨分散索股的影響。
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